我记得上大学时，我的数学老师是个个子矮小的廖教授，纺大教授，这么多年过去了，他给我们讲课时那自信满满的样子，我就会不自觉的露出笑容，即便如此，当年教授给我们的知识也很多被遗忘了，知识就是这样，长期不用了，就会遗忘了，只有不停的去使用，你才是它的主人，一旦撒手，它就是你的主人，它认识你，你不认识它！

就比如我现在心心念念的去追寻的四维时空转换问题，其实当初大学老师都教过我们了。只是那些书都在我原来的房间楼梯间里发霉了！

现在回想起来，真不能怪我，知识用来方恨少，提笔欲书坎坷多！

下面我们就来回顾一下四元数的前世今生:

四元数（Quaternions）是一种扩展了复数系统的数系，由爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）在1843年提出。四元数可以用来表示三维空间中的旋转，这在计算机图形学、机器人学和航空航天工程等领域非常有用。

一个四元数可以写成以下形式：

[ q = a + bi + cj + dk ]

其中，(a)、(b)、(c)、(d) 是实数，而 (i)、(j)、(k) 是四元数的三个虚部单位。这三个虚部单位满足以下乘法规则：

[ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 ]

[ ij = k, \quad ji = -k ]

[ jk = i, \quad kj = -i ]

[ ki = j, \quad ik = -j ]

这些规则表明四元数的乘法不满足交换律，即一般情况下 (pq eq qp)。

四元数的一个重要应用是表示三维空间中的旋转。特别是，一个单位四元数可以表示一个旋转轴和一个旋转角度。给定一个单位四元数 (q = a + bi + cj + dk)，其中 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1)，它可以用来表示围绕轴 ((\theta, u)) 的旋转，其中 (\theta) 是旋转角度，(u = (b, c, d)) 是旋转轴的方向向量，(a = \cos(\theta/2))。

使用四元数进行旋转的优势在于避免了万向节锁（gimbal lock）的问题，并且在数值上更加稳定。此外，四元数的插值（如球面线性插值，Slerp）提供了平滑的旋转路径，这在动画和实时渲染中非常有用。

四元数在现代技术中的应用包括但不限于：

计算机图形学中的三维模型旋转

航空航天工程中的姿态控制

机器人学中的运动规划

虚拟现实和增强现实中的头部追踪

游戏开发中的角色和物体的旋转

四元数的概念虽然相对复杂，但由于其在处理旋转时的效率和稳定性，它们在需要高效、准确地处理旋转操作的领域中得到了广泛的应用。

接下来我们把它扩展到一般的五元数和5*5的矩阵中按标准矩阵运算法则运算，来找出其规律！

在数学中，五元数（quintenions）并不是一个像四元数（quaternions）那样广为人知且有明确定义的代数结构。四元数是由威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）在1843年提出的，它们构成一个四维的超复数系统，具有特定的乘法规则。然而，对于五元数或其他更高维度的超复数系统，并没有一个统一的定义或者广泛接受的乘法规则。

如果我们试图构造一个五元数系统，我们可以考虑一个形如 ( q = a + bi + cj + dk + el ) 的表达式，其中 ( a, b, c, d, e ) 是实数，而 ( i, j, k, l ) 是五个虚部单位。但是，为了使这个系统成为一个代数，我们需要定义这些虚部单位之间的乘法规则，并且这些规则需要保证乘法的封闭性（即任意两个五元数的乘积仍然是五元数）。

在四元数中，虚部单位 ( i, j, k ) 的乘法规则是精心设计的，以满足特定的代数性质，例如无零因子（non-zero divisors）和结合律（associativity）。然而，当我们尝试扩展到五元数时，要保持这些性质变得非常困难。实际上，如果要求乘法结合律，那么这样的五元数系统是不可能存在的，因为根据弗罗贝尼乌斯定理（Frobenius theorem），实数域上的有限维可除代数只有三种：实数、复数和四元数。

尽管如此，数学家们仍然对探索更高维度的超复数系统感兴趣，这些系统可能具有不同的乘法规则和代数性质。这些探索可能会导致新的数学理论的发展，但截至目前，还没有一个像四元数那样具有明确乘法规则和广泛应用的“标准”五元数系统。