就像正常的乘法一样。

此外，两个函数的卷积也是一个函数，就像数字乘法一样，两个数字相乘的结果也是一个数字。

要证明这些，只需明确写下积分。前两个从微积分的规则中立即得出。最后一个需要函数在某种程度上行为良好，允许我们改变积分顺序，但对于物理相关的函数，这通常是这样的。

然而，这不是一个完美的等价。一个（大）问题是定义逆，即卷积类比的 a^(?1)，使得 a × a^(?1) = 1。换句话说，我们如何“去卷积”两个函数？这个问题通常是不适定的。更多关于这个的讨论在下面。

但另一个问题是身份。我们需要一些起到乘以1的作用的东西。我们知道 f(x) × 1 = f(x)，对任何 f 都成立，但哪个函数 I(x) 满足：f(x) * I(x) = f(x)？

δ函数的筛选性质（方程 11），你应该认识到它是以卷积的形式写的。δ函数在将两个函数进行卷积时充当恒等算子。换句话说，δ函数有点像 1。

这种联系并非凭空而来。我们可以在傅里叶变换的背景中看到这种暗示。δ函数可以通过傅里叶变换表示。我们可以看到傅里叶表示的形式是取 1 的逆傅里叶变换：

方程 13:

δ(x-x')=2π^-1∫-∞/∞e^iω(x-x')dω=2π^-1∫-∞/∞1*e^iω(x-x')dω

卷积和内积

在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”或低通滤波器来了解这一点。

例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。

使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波

对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。消除一些模糊并非不可能(反卷积是图像处理中的一个老话题)，在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。

虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。

方程 14:

是的，内积（Inner Product）是三维空间中常规向量点积（Dot Product）的一种概括。在数学中，内积是一个定义在向量空间上的函数，它赋予两个向量一个标量值，并且满足一定的性质。在三维欧几里得空间中，内积通常指的是点积，但在更一般的向量空间中，内积的概念被扩展以适应不同的几何和代数结构。

三维空间中的点积定义如下：给定两个向量 a = [a1, a2, a3] 和 b = [b1, b2, b3]，它们的点积（记作 a · b）定义为：

a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3

点积有以下性质：

交换律：a · b = b · a

分配律：a · (b + c) = a · b + a · c

结合律：(ka) · b = a · (kb) = k(a · b)，其中 k 是标量

正定性：a · a ≥ 0，且 a · a = 0 当且仅当 a = 0

在更一般的向量空间中，内积的定义需要满足以下公理：

对称性：?a, b? = ?b, a?

线性性：?ka, b? = k?a, b? 和 ?a + b, c? = ?a, c? + ?b, c?

正定性：?a, a? ≥ 0，且 ?a, a? = 0 当且仅当 a = 0

在不同的向量空间中，内积的具体表达式可能会有所不同，但它总是保留了这些基本的代数和几何性质。例如，在复数向量空间中，内积可能包含共轭操作；在无穷维函数空间中，内积可能是两个函数的积分乘积。

总之，内积是点积的概括，它不仅适用于三维欧几里得空间，还适用于更广泛的数学和物理问题中。内积的概念在泛函分析、量子力学、信号处理等领域都有重要应用。

在向量空间中，向量的模（或长度、范数）是指向量的大小或绝对值。对于具有内积的向量空间，模可以通过内积来定义。在三维欧几里得空间中，向量的模通常是指向量的长度，可以通过点积来计算。

对于一个三维向量 v = [v1, v2, v3]，其模（记作 ||v||）可以通过以下公式计算：

||v|| = √(v12 + v22 + v32)

这个公式实际上是利用了点积的性质，特别是向量与其自身的点积等于其模的平方：

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v · v = v12 + v22 + v32 = ||v||2

因此，我们可以通过取平方根来得到模。

在更一般的内积空间中，向量的模可以通过内积来定义。给定向量 v，其模定义为：

||v|| = √?v, v?

这里，?v, v? 表示向量 v 与其自身的内积。这个定义保证了模是非负的实数，并且当且仅当向量为零向量时，模等于零。

模的概念在数学和物理学中非常重要，因为它与向量的几何属性密切相关，比如距离、大小和方向。在物理学中，向量的模经常用来表示物理量的大小，例如力的大小、速度的大小等。在数学中，模的概念也被推广到了更一般的抽象空间，如赋范空间和巴拿赫空间，成为分析和几何中的基本概念之一。

? 在普通的（3D）空间中，向量只是箭头。它们指向一个方向并具有长度，我们称之为大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。

内积只是一个规则，或一个映射，用来将两个向量映射到一个数字。通过方程 14，规则是取每个方向（x，y，z）的分量，将这些分量相乘并求和。

现在将其与方程 12 中卷积的定义比较，我们可以看到卷积所做的事情相同，只是使用的是函数：我们在每个点乘以两个函数并求和。更一般地，我们定义函数 f 和 h 之间的内积：

方程 15:

在函数空间中，两个函数 f(x) 和 h(x) 之间的内积通常定义为一个积分，这个积分依赖于具体的内积空间和所考虑的函数类型。在许多情况下，特别是在实数域上的函数空间，内积可以定义为两个函数的乘积在某个区间上的积分，再加上可能的权重函数。

一个典型的例子是在实数域上的 L2 空间，其中函数 f(x) 和 h(x) 的内积定义为：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) dx

这里，a 和 b 是积分的上下限，dx 表示对 x 的微分，积分区间 [a, b] 是定义内积的区间。这个内积满足内积空间的公理，包括对称性、线性性和正定性。

如果考虑的是带有权重 w(x) 的函数空间，那么内积的定义会包含这个权重函数：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) * w(x) dx

权重函数 w(x) 可以是任何非负的可积函数，它在积分中起到调整不同部分重要性的作用。例如，在概率论中，权重函数可能代表概率密度函数，而在其他应用中，它可能有不同的解释。

需要注意的是，内积的定义不是唯一的，它可以依赖于特定的应用和所考虑的函数空间。在某些情况下，内积可能还包括复共轭，尤其是在处理复数域上的函数空间时。例如，在复数域上的 L2 空间，内积定义为：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * conj(h(x)) dx

这里，conj(h(x)) 表示 h(x) 的复共轭。

总结来说，函数 f 和 h 之间的内积通常通过积分来定义，具体形式取决于所考虑的函数空间和应用背景。在实数或复数域上，内积可能包括函数乘积的积分，有时还会加上权重函数或复共轭。若是区间在[-∞,∞]之间，则

卷积实际上只是函数向量空间中的内积，其中一个函数按我们选择的量进行了移位。或者你可以这样说，卷积代表了与一些函数集相关的一组内积，这些函数通过移位函数参数联系起来。

现在在普通的 3D 空间中，我们可以将任何向量表示为三个单位向量（每个方向长度为 1 的向量）的和，其中每个方向是一个维度。我们说这些向量跨越了整个向量空间，这意味着我们可以写出任何向量：

方程 16:

V=Vx*X+Vy*Y+Vz*Z

x 帽是 x 方向的单位向量。其他方向也是如此。

我们可以将分量 v_x, v_y, v_z 定义为与单位向量进行点积的结果：

＜X*V＞=X*V=Vx

那么函数的“分量”的等价物是什么呢？查看方程 15 中内积的定义，这个分量就是f(x)或者函数在x点的值。

这就是函数向量空间和普通三维空间的巨大区别。如果我们考虑的是为所有实数x定义的函数，这意味着向量或函数，有无穷多个分量。换句话说，函数向量空间有无限维。

这确实引入了一些复杂性（例如，随着 x -＞ 无限大，内积 15 可能会增长到无限大），我们现在将忽略这些细节，假设函数都表现良好。

有了这种对 f(x) 的理解，让我们重新写筛选性质

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方程 17:

f(x)=∫f(x)δ(x-x')dx'=∫δ(x-x')f(x)dx'

认识到积分是内积，这与下式相同

方程 18:

f(x)=＜δx，f＞

其中我使用 δ_x 作为位置 x 的 delta 函数的简写。

由于 f(x) 类似于在位置 x 的 f 的“分量”，与位于 x 处的 delta 函数取内积类似于与单位向量取点积。或者换句话说，delta 函数就像函数向量空间中的单位向量，挑选出位置 x 处的值或分量，就像 3D 空间中的普通点积一样。

所以让我们回顾一下。我们介绍了关于 delta 函数的两种思考方式：

? 它在函数卷积中扮演恒等角色，或乘以 1 的角色。换句话说，delta 函数有点像 1。

? 在考虑函数的向量空间时，函数扮演着“单位向量”的角色。将“点积”与δ(x - x ')相乘，得到向量在位置x处的分量，也就是函数在x处的值，或者f(x)。

最后一件事：到目前为止关于内积的讨论是关于实值向量的。扩展到复值空间很简单，只需要对第一个参数取复共轭。就比如狭义相对论中的洛伦兹变换？

对于实变量上的函数：

方程19:＜f,h＞=∫±∞f(x)h(x)dx

这可能是一个次要点，但在开始思考量子力学中的格林函数时很重要。

回到格林函数

思考格林函数的一个提示

有了对δ函数的理解，让我们回到格林函数的问题（方程 6）。

L?G(x,x')=δ(x-x')

或者如果算子是自伴随的：

LG(x,x')=δ(x-x')

如果δ函数类似于 1 或恒等函数，那么格林函数似乎类似于线性算子 L 的逆。

为了更清楚地看到这一点，让我们回到原始问题，

Lu(x)=f(x)

如果格林函数类似于 L 的逆，如果乘以 G，即与格林函数取内积，则可以“撤销” L 的作用并求解 u。

方程 20:

＜G,Lu＞=＜G,f＞

根据伴随的定义（方程 7），我们可以将 L 作用于 u 替换为 L 的伴随作用于 G。根据格林函数的定义，这与δ函数相同。

方程 21:

＜G,Lu＞=＜L?G,u＞=(δx,u)=U(x)

对于右手边：

方程 22:U(x)=＜G,f＞=∫G(x,x')f(x)'dx

就是这样。如果格林函数 G，我们通过与源函数 f 取积分来求解 u，类似于用 L 的逆乘以 f。

方程 23:

G∽L^-1

需要明确的是，像与普通乘法的卷积一样，这并不是一个完美的等价。L 甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函数。这更多是一种关于 G 的“操作性”思考方式。

你应该开始看到格林函数的威力了。如果我们直接解原始问题，我们只需要解一个特定的源函数。对于格林函数，我们可以求解任意选择的源，但是要“反转”算子L。

关于格林函数的一个重要细节是它们总是至少有两个参数的函数，我们称其为x和x ' G(x, x ')格林函数似乎是一种将x '处的源和x处的解联系起来的方法，我们在x处求解u的值。

看看方程 22 的右手边，你可以看到积分接近卷积的形式。如果 G(x, x′ ) = G(x–x ′ )，它将是精确的。事实证明，如果线性算子 L 具有平移对称性，通常会出现这种情况。例如，当算子是常数系数的导数之和时，如拉普拉斯算子。在这些情况下，确实有一个完全的卷积。

方程 24:

U(x)=∫G(x-x')f(x')dx=G*f

引入物理

旧电压表

我们可以用数学的方式来考虑格林函数作为算子的逆函数，当我们在求内积时，把函数看成是1。但我们如何从物理上理解格林函数呢?

说明这一点的最简单方式是用一个例子。让我们为泊松方程求解格林函数（上述方程 3）。回想一下，我们试图找到电势（电压），给定空间中的某些电荷分布，后者我们用电荷密度 ρ(r) 表示。

泊松方程:

-▽^2V(r)=ε0^-1ρ(r)

其中 ?0 是一个常数，称为自由空间的电容率。

这是一个“静电”问题。我们假设电荷不动。没有电流存在，否则除了电势，我们还需要考虑磁势来完全解出这个方程组。

虽然这是一个简化，但这仍然是一个非常困难的问题，所以找到格林函数是值得的。不仅如此，这实际上是一个物理电荷分布。如果我们考虑一个电子，它只是一个带电荷的点。它的密度是

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方程 25 电子的电荷密度:

ρ(r)=-eδ(r)

相比之下，质子是一个复合粒子。我们可以使用量子力学为其指定一个有效的“大小”，但几乎在所有实际应用中，它同样只是一个带有正电荷 +e 的点，具有相同的δ函数电荷密度。

同样的考虑可以应用于大多数实际尺度的整个原子，例如，耳机或麦克风中的钕离子具有近似的电荷密度：

钕离子（Nd+3）的电荷密度。

ρ(r)=+3eδ(r)

因为钕